教学设计：周德均

　　【版本信息】

　　适合高三第一轮复习，版本为人民教育出版社A版。

　　【版本信息】

　　教材背景：

　　学生已经复习了椭圆的定义，标准方程，几何性质，本节课属于定义，几何性质，三角形面积公式等综合运用。

　　学习目标：

　　1.知识与技能：熟悉椭圆定义，几何性质，熟练运用三角形面积公式；提高运算求解能力，推理论证能力，培养创新意识。

　　2.过程与方法：以小组合作式探究学习为课堂模式，通过运用思维工具和导图，突破重难点。

　　3.情感态度价值观：培养学生的合作意识、创新意识、开阔的数学视野、科学的数学意识。

　　授课形式：

　　1.以讲学案为载体； 2.以小组合作式探究学习为课堂模式； 3.以思维工具为能力提升的方法； 4.以思维导图为总结反思。

　　讲学案设计

　　一、章节标题，标注信息：椭圆的定义、标准方程、几何性质

　　二、目标导学，明确要求:利用椭圆的定义和几何性质，解决椭圆内与焦点有关的三角形面积的相关问题。

　　三、课前预习，发现问题：

　　聚焦范围：与焦点有关的三角形；

　　聚焦问题：常用的三角形的面积的计算公式：

　　公式一：公式二：

　　椭圆内三角形面积问题的初步探求：

　　1.若椭圆方程为：x216+y212=1，A1,A2是椭圆的左右顶点，B1,B2 是椭圆的上下顶点，F1,F2是椭圆的左右两个焦点。求：

　　（1）△F1OB1的面积;（2）△A2B1B2的面积

　　2.若椭圆方程为：x24+y2=1，F1,F2是其左右两个焦点，P是椭圆上一点，

　　（1） 若P的横坐标为1，求△F1PF2的面积；

　　（2） 若△F1PF2的面积为32，求P点的坐标。

　　问题小结：

　　3.若椭圆方程为：x216+y24=1，F1，F2是其左右两个焦点，P是椭圆上一点，

　　（1）]PF1=2，求△F1PF2的面积；（2）∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面积。

　　问题小结：

　　四、其他可能问题：

　　上面我们已经探求的问题几乎都是和△F1PF2有关的，发挥自己的想象力，思考对于椭圆内与焦点有关的三角形的面积问题还有没有其他的考察方式？请你来做出题者，可以是直接求面积，也可以是已知面积而求其他问题。要求：1.可操作；2.尽量有新意。

　　每位同学出一个或两个题，写在下面的空格中。自己知道解答过程的写出过程，不知道的也可征求他人的观点。

　　五、 老师的其他观点：  

　　六、导图总结： 

　　讲学案的设计，是在本校对学案要求的基础上做了微小改进，力求简单，典型，同时覆盖高中数学对椭圆几何性质，解三角形等知识点的要求，幷且具有一定的开放性，放飞学生的思维。之所以设计为与焦点有关的三角形面积问题而没有放得更宽，主要还是考虑到几何性质的运用。

　　另外，设计过程也渗透了以下几个思维工具：1.聚焦：范围聚焦和问题聚焦；2.逆转：条件和结论的位置调换；3.其他的可能（APC）：自己考虑本问题的其他可能考察方式；4.他人的观点（OPV）：小组合作时对某一问题的不同做法的讨论，以及点评时考虑有没有其他做法。5.祛除：寻找展示解答的缺陷并提出改进意见；6.优缺点与兴趣点（PMI）：不同解题思路优缺点，如何适当选择。

　　附图1：教学设计导图：

　　图1教学构思

　　教学过程实録

　　按照所在学校对课堂教学的整体规划，笔者所任教的班级的课前预习一般都是按照下面的模式进行：学生是在上课的前一天的晚修完成预习任务，本节课是讲学案中的三、四两部分内容。老师课前批改部分或者全部同学的作业情况（本节课是全部），对学生的问题和想法有了一定的瞭解。数学课代表在课前随机或有针对性的安排好展示的学生名单和内容，一般一题安排两位同学展示从而有比较性。内容不管对错，只要和自己原始作业一样就可以，展示可以在课间休息时进行，也可以正式上课后进行（本节课是利用课间）。

　　上课开始，老师首先对本节课的目标做一个简单解读：利用椭圆的定义和几何性质，解决椭圆内与焦点有关的三角形面积的相关问题。引领学生聚焦范围和问题：与焦点有关的三角形、面积问题，把公式在黑板上书写。然后以投影的方式在屏幕上对昨晚的预习情况进行反馈，包括了表现优秀的组名和个人，进行表扬；同时包括出问题较多的题号和原因。之后安排两位同学对2,3两题做点评（第一题比较简单，只让同学对照答案），给两分钟点评准备，其他同学纠错或总结或看展示同学的做法。

　　点评的同学平时就有要求：1.过程是否规范；2.结论是否正确；3.有没有其他做法；4.思想方法和易错小结。

　　点评开始，第二题的点评中点评者发现了有一位同学的第二问结果只有两个点这一错误，幷且找到了错误的原因：设P点坐标为(x0,y0)，展示同学在表达面积的公式中写为了S△F1PF2=12·2c·yo，其中y0可能是负数。补救方法是对y0加个絶对值，幷且对该题进行了小结：△F1PF2的面积公式，P点坐标和△F1PF2的面积可以互相求解。该生点评很精彩，老师大力表扬。

　　第二位点评的同学在点评第三题的时候，发现两位同学在第二问的处理时都是利用了定义和勾股定理解出了PF1和PF2的长度，然后再计算面积，他给出了自己的一种方法：利用定义]PF1+]PF2=2a=8,两边平方，利用勾股定理，得到]PF1·]PF2的结果，然后再计算面积，简化了计算难度。方法很好，老师同样大力表扬。不过在小结时点评同学没有说明数学方法，老师给予补充：整体代换的数学思想。幷且提示在角度是其他特殊角时，这个方法更彰显优势。

　　点评结束，老师对展示和点评所在组给出相应加分（注：每组在课前已有基础分数，就是昨晚作业的完成情况的打分）。再给出2分钟时间让同学用思维导图总结，请一位同学把导图画到指定位置。到此，用时大概15分钟。

　　导图小结完毕，老师安排小组内讨论交流：小组内交流昨晚每一个同学想到的其他考查方式，讨论不同的解题思路，并选出一或两个自己小组认为的最佳变式考查，同时安排4个小组把本小组的变式考查题目展示到小黑板上让同学们分享（时间5分钟）。学案中其实有所提示：已经探求的问题几乎都是和△F1PF2有关的，学生就可以不局限于这个三角形而进行其他考察方式的思考。

　　每组都展示了2个变式，因为题目较多，就由教师引领全班同学分享8个题目。有的是对第三题的角度变化为120°和45°，多数是条件、所求都变化了。这里择优选取了两个计算和思路难度适当的变式供全班同学解决，如下所示：（分享和选题用时4分钟）

　　1，椭圆方程为x24+y2=1，2，椭圆方程为x216+y212=1，

　　求图中△F1PF2的面积； 求图中△BCF2面积（BC过左焦点F1）

　　（图一）（图二）

　　选题完毕，老师安排任务：由于时间问题，每组指定一个题目做出完整的过程和结果，另外一题只在组内讨论解题的思路和方法。同时安排4组，由本组选人把指定题目解答过程展示到小黑板上（用时8分钟）。

　　展示完毕，由老师对两题进行点评，第一题两个组用到的方法相同：先把]PF1+]PF2=4两边平方，再利用余弦定理消除]PF12+]PF22，得到]PF1·]PF2=4这一整体结果，再代入公式S△F1PF2=12]PF1·]PF2sin120°得到面积。整个过程利用了椭圆定义，余弦定理，三角形面积公式以及整体代换的思想。接着老师提问有没有其他做法？其中有个小组的同学给出了另外一种解法：记椭圆的上下顶点分别为B1,B2，因为a=2b，所以∠OB1F1恰为60°，所以∠F2B1F1为120°，因此P点就为B1或B2，所以面积更好解决。这一做法非常巧妙，说明该组对数据和角度非常敏感，老师大力表扬，但同时说明这一方法的特殊性。

　　第二题展示的两组用到两种不同方法：都首先写出了直线BC的方程。其中一组是解方程组y=3(x+2)x216+y212=1得到B,C的坐标，再计算BC长度，再计算点F2到直线y=3(x+2)的距离，然后代公式得到面积；另外一组的同学是把直线方程中的x代入椭圆方程，得到关于y的一元二次方程，解出y1,y2的值，再把原三角形分成上下两个三角形求解。让同学们自己优选方法，哪个做法更加简单，当然，同学们选择了第二种做法。这里再次强调了计算面积时，要把纵坐标y加絶对值，与前面提到的呼应。同样，点评完毕后，对展示和回答问题的的小组给出相应加数。（用时8分钟）

　　老师点评结束，本来有安排老师的其他观点这一过程，但时间问题省略（本校每节课40分钟）。接着老师安排每位同学对本节课的内容以思维导图的形式进行一个总结，也就是把预习点评后的思维导图进行一个完善，同时请开始画导图的那位同学到指定位置完善刚才的导图。老师再做适当小结，本节课结束。

　　附图2：课堂实録导图

　　图2教学流程

　　【教学后记】

　　1.学生点评有的喜欢谈细节和自己的想法，而不注重纠错和方法的点评；

　　2.时间控制应该更加细化，紧凑；

　　3.学生作思维导图的能力应该进一步培养；

　　4.内容稍显单调，不过对于文科生，也算适合。