教学设计：梁丽庆

　　【版本信息】

　　本专题适合经过一轮复习知识点过关后的高考二轮复习使用，采用版本为人民教育出版社A版。

　　【教学设计】

　　图1教学构思

　　一、专题确立背景

　　立体几何作为高考解答题前三大题之一，是镇属中学学生的目标拿分题。经过一轮复习，学生处理给定几何体的证明或计算都比较熟练，但是一旦涉及有待定未知量的几何体就束手无策。另一方面，2012年广东高考题也出现此类题目的考查，充分体现高考命题的多样性和灵活性。针对学生这种情况，确立了本专题。

　　二、教学目标（运用思维工具有：AGO、APC、FIP）

　　1．整体目标：

　　根据学生现有的能力，教者计划把本节课设计成逐步提升的探究课型。

　　2．具体教学目标

　　（1）熟练地在给定几何体中证明平行或垂直与计算

　　（2）在有待定未知量的几何体中证明平行或垂直与计算

　　（3）通过比较，找到后者解决问题的突破点、体会转化的数学思想

　　 三、教学步骤

　　（一）课前预习：

　　1．如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点.

　　（Ⅰ）证明：AE⊥PD；

　　（Ⅱ）若PA=AD，求二面角E-AF-C的余弦值.

　　2.如图4，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是正方形， PA⊥面ABCD，点M是CD的中点，点N是PB的中点,连接AM,AN,MN.

　　(1) 求证：MN∥面PAD；

　　（2）若MN=5，AD=3，求二面角N-AM-B的余弦值.

　　 3.题1中，若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为62，求二面角的余弦值.

　　 设计意图：先在给定几何体中证明平行或垂直与计算，过渡到在有待定未知量的几何体中证明平行或垂直与计算，由浅入深，符合学生的认知规律，也提示学生问题的转化思路。

　　（二）小组展示

　　展示要求：第一、二、三三个小组分别展示第1、2、3题，要求用红笔标出本题解决

　　问题的关键点；在小组展示的同时，其余小组安排小组讨论，内容：各题解决的困难和关键是什么。

　　（三）结合小组的展示和小结进行点评、提升

　　用导图小结“解有待定未知量的问题”的方向、步骤（运用AGO、聚焦思维工具）

　　参考提示（图2）：

　　图2“解有待定未知量的问题”解法小结

　　（四）组内合作，各抒己见（思维工具：APC、FIP）

　　结合做过的题，每组两个同学找出一个类型题，找出困惑点和关键点，对照思路重做关键步骤并互相交流。

　　（五）当堂练习，举一反三

　　练习题1.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,PD⊥底面ABCD,E、F分别为棱BC、AD的中点.

　　(1)求证:DE∥平面PFB；(2)已知二面角P-BF-C的余弦值为66,求四棱锥P-ABCD的体积.

　　练习题2.2013年广州一模理科18题

　　如图4，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1⊥平面ABC，D，E分别是CC1，AB的中点.（1）求证：CE∥A1BD平面；

　　（2）若H为A1B上的动点，当CH与平面A1AB所成最大角的正切值为152时，求平面A1BD与平面ABC所成二面角（鋭角）的余弦值.

　　（六）导图总结（图3）

　　图3“解有待定未知量的问题”解法完善

　　（七）课外延伸与拓展

　　任务：每个小组找一个常规几何体的题，改变它的条件，使得几何体中有待定的未知量，幷且写出证明与计算过程，下节课前黑板上展示分享小组的成果。

　　设计意图：突出挑战思维的训练，同时培养学生的自信

　　参考原题（给定量的几何体）：

　　 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点．若PA=AD=3，CD=6．

　　（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；

　　（Ⅱ） 求点F到平面PCE的距离；

　　（Ⅲ）求直线FC平面PCE所成角的正弦值．

　　  变题（要先待定底面矩形的一边AB的长）：

　　如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点．若PA=AD=3，直线FC平面PCE所成角的正弦值为2114

　　（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；

　　（Ⅱ） 求点F到平面PCE的距离。

　　【教学后记】

　　立体几何中的证明与计算对学生的思维能力要求很高。如何培养学生的思维能力，如何落实立体几何教学，都是摆在每一个数学教师面前的重点和难点。尤其是，立体几何作为高考解答题前三大题之一，学生的目标拿分题，但是我们比较近几年的高考题可以发现，现在的考题更灵活了，而且还逐渐的加入一些待定的量，加大难度，提高区分度。突破这一点，对学生是一个挑战。

　　在教学中，笔者先由浅入深，结合OPV、FIP等思维工具综合训练学科思维能力，从实际授课看，在解决有待定未知量的问题中取得了一定的突破。